＃數學教具
＃扣條
一、前言：
教具操作是希望透過具體物讓孩子探索分析數學概念，並且在小組討論的模式下，歸納整理出數學概念。我在這類教學活動除了任務揭示外，盡可能給予最少干擾，提問追問部份也都是針對孩子的說法提出複述或者疑慮，讓孩子重新檢視小組的探索方向，這次進行三角形分類活動，其實之前已經實施多次，也大約可以預料孩子會產生的問題，但是一樣秉持最少干涉，讓孩子真實呈現他們的探索過程，從中可以反思孩子在許多概念建立上的盲點及特殊性。
二、教學活動
（一）活動一：扣條探討邊長分類
★活動說明：
今天使用扣條讓孩子進行三角形分類活動。總共進行三個部份：
第一、利用扣條組合成各種三角形（不同三角形，越多越好）
第二、將三角形進行分類（窮盡、互斥）
第三、將分類後的三角形進行命名。（原因）
★教學記錄：
孩子在進行這類活動時，都非常專注，且也能夠分工去組合出各種三角形。兩個人一組一包扣條，孩子組合出各式三角形後，先進行檢查，確認沒有重複的。一開始組合時，有些小組並有沒有策略性，拿到什麼就組合什麼，行間巡視時，刻意詢問孩子：不同三角形越多越好，怎麼確認？孩子感覺突然驚醒，再次反思任務，重新分配，用扣條顏色來進行組合。
分類的原則是窮盡和互斥，這部份有特別於任務揭示時先簡單說明，窮盡：所有三角形都必須分完，而互斥：彼此之間基於某項分類原則下，必須不能重複或者矛盾，但是似乎孩子缺乏這類分類的經驗（多變數），以前的分類大多過於單一變數而無法達到這類練習。十組孩子的分類方式都是超過三種，四種分類的有四組（多一類等腰直角三角形），五種分類的有五組（多了等腰直角、直角三角形兩類），有一組分類未完成。
『窮盡、互斥』是參考維民老師的教學部落格。連結：http://mathematize7.blogspot.tw/2013/07/25.html
命名孩子在之前角度部份已經學過直角鈍角銳角，因此，有些孩子使用這類名詞去命名。用邊長命名的有出現三邊相等三角形、兩邊相等三角形、都不相等三角形，或者短短長、長長短三角形這類命名。
發表時，孩子除了介紹自己小組的分類及命名外，必須回答其他同學的提問，倘若同學沒有提問便由老師追問。同學提出的問題：這個直角三角形為何不是分在三邊不等長那一類。其實便是孩子在分類時忽略的層次，但是其實提問的這一組也是犯這個謬誤（他們多了一類等腰直角三角形），這又是另一個層次的議題『當局者迷旁觀者清』。
孩子之間的提問，產生爭論，針對這個問題，有些孩子提出不同的見解去回應：『這類三角形多了一個直角啊！所以他不是單純不等邊三角形』。提問這組提出：『可是等腰直角三角形也有直角啊！那他也是直角三角形這一類囉！這樣你們命名兩邊相等這一類也會有直角三角形啊！』孩子之間的爭論似乎已經造成其他同學的錯亂了，所以我先請孩子停止爭論，先再思考分類的原則。我換一個例子來針對這個提問要求孩子再次思考：『如果台灣人先依照縣市分類，再用性別分類。那麼每個縣市是不是都還會有男女生呢？』
陷入沈思的安靜之中，我讓孩子重新檢視自己的分類方式，有些小組已經知道我舉例的目的，他們知道他們原本設定的分類方式，其實有一些是性質子類別。行間巡視時，請那些已經知道我的用意的小組發表，也藉此讓孩子們的對話來釐清迷思。一切看似混亂的過程中，孩子從自己的分類方式，開始反思缺漏或者疏忽的地方，透過這個過程他們真實體驗到數學分類及歸納有其嚴謹度，主要就是要避免任何可能產生的爭議，接著才進入正式數學命名的歸納整理。孩子也更能夠接受為何要這樣進行分類。
（二）活動二：三角形圖卡角度分類
★活動說明：
今天使用三角形圖卡讓孩子進行角度分類：
第一、請孩子依據數學講義的圖片試著用量角器、三角板、直尺進行分類。
第二、分類的方式及原因
★教學記錄：
由於已經有活動一的經驗，孩子在進行活動二時，已經較能夠掌握互斥窮盡的分類原則。
孩子在進行分類時，有些孩子都會將每一個角都量出來再進行分類，分類的方式也都能掌握『直角、鈍角、銳角』三類，詢問分類原因，孩子直角三角形和銳角三角形可以完整說明，但並未能夠完整說明鈍角三角形的分類方式（只有一個角是鈍角，另兩個是銳角，為何不能說是銳角三角形）。另外也有小組利用三角板的直角直接進行判斷。
小組發表時，小組提到分類的方式及原因大多是三角形有一個角為直角、一個角為鈍角就稱為直角三角形和鈍角三角形，但是銳角三角形則是三個角都需要是銳角。這個部份有孩子提問：『為何要三個角都是銳角？』『為何鈍角直角只能有一個呢？不可以有兩個嗎？』
針對這個提問帶著孩子一起深入反思，由於這個單元為提及三角形三個內角和為180度（雖然有些孩子已經知道了。），因此，無法從三角形內角進行分析討論。這個問題在共備群組有老師建議用畫圖的方式，先從兩個直角切入探討。但是針對這個部份又遇到一個難題，小學平行的定義是以永遠沒有交點的兩直線去定義，這樣子利用繪圖方式去討論當一個三角形有兩個直角時，無法產生第三個交點，亦即無法構成三角形。所以先針對平行的定義額外補充：『當兩線段有一條直線可以同時垂直時，則兩直線平行』。針對這個部份去繪圖推證三角形無法同時有兩個直角（兩線平行沒有交點），而鈍角亦同。
（三）活動三：三角形繪圖大師
★遊戲方式：
1、老師發給學生三角形格點學習單。
2、學生透過連接三點產生各種三角形，能夠完成最多種不同三角形。
3、『不同』三角形：不同的定義是指不考慮旋轉後的重複情況喔！
4、學生必須將畫出來的三角形寫上名稱才算完成一個三角形喔！（依照邊長或角度分類可以只寫一種即可）
★教學流程
1、複習三角形分類命名。
2、發下學習單並說明遊戲規則。
3、針對『不同三角形』舉例說明（可以舉圖一例子）
4、提醒孩子必須填寫出三角形名稱才算完成一組答案。
5、三角形需要透過科學工具進行驗證。
6、確認圖形是否重複。
7、十五分鐘後，可先進行簡單的策略分享。
8、全班歸納總結，總共十一種答案。（一一核對答案時，請孩子寫上三角形的另一個分類名稱）圖六
★實施心得及省思
1、學生在面對這項活動時，需要花較多時間去說明：『不同三角形』的意思。開始繪圖前，先舉了幾個例子說明這些圖形是否代表不同三角形。（舉例：旋轉的）
2、『不同三角形』雖然經過舉例說明，但是老師在行間巡視時，仍然需要個別提醒。可以告知孩子旋轉檢查一下。
3、命名需要使用科學工具驗證（圖二），孩子大多會用直觀判斷法，直接判斷三角形類別，但是有時候會出現錯誤，例如：下圖四迷思與檢討的正三角形。
4、策略分享：
＊有孩子發現其實直接用角度分類命名最快速且不容易出錯。（圖三）
＊挑選任意三個點進行連接嘗試，然後旋轉檢查是否重複。
5、幾何旋轉是很難的一部份，孩子大多都可以找到八種，剩下三種就是圖五，這類左右翻轉對稱全等的圖形孩子誤以為是相同的三角形。恰好利用這個活動跟孩子討論到圖形旋轉的定義。
6、學習單格點太大，而導致有其圖形誤差。
7、正三角形的直觀迷思，剛好透過這類錯誤跟孩子討論直觀方式可能產生的問題。
圖一 這兩個圖形旋轉後是代表一樣的三角形
圖二 學生需要練習使用科學工具驗證。 圖三 學生發現利用角度命名是最快速且安全的
圖四 迷思及檢討：這是正三角形嗎？
圖五 這類圖形很容易忽略。其實不等邊三角形的左右翻轉對稱圖形是無法旋轉產生的，所以這樣的規則之下要另外算三種。
圖六
（四）活動四：三角村偵探社
★設計理念：科學工具的使用是學生較少有機會練習的部分，且大多都為複製圖形的任務，這次教學設計跳脫複製模式，而是希望孩子能夠運用三角板的角度特性。並利用偵探的包裝，讓學生透過小組討論、分析推理完成任務，讓學生在角色扮演的遊戲中學習數學。
★活動流程：
1、 課堂準備
情境布置部分：三角村嫌疑犯三角形（扣條製作）
2、 引起動機：今天邀請學生擔任偵探解決三角村的案件，並每組發給三角村成員（扣條）
（1）三角村偵探事件學習單。
（2）三角村成員的三角形（扣條）
3、主要內容／活動
（1）配合學習單三角村偵探事件簿，讓孩子先個別思考案件。
（2）接著小組討論分享自己的看法，組員相互論證並提出質疑。
（3）每個案件抽小組上台發表分析。
（4）小組彼此提出質疑或問題。
（5）小組論證確認共識。
4、教學反思
三角形偵探社是綜合分析活動，讓學生針對三角形的線索特徵來解決案件，透過活動學生順便複習三角形的各種特質。學生必須針對題目的線索來討論分析，對於圖形的判斷必須提出自己論點。
讓學生針對的三角形村案件進行分享報告。孩子必須提出三角形符合的特徵來證明誰是兇手。
孩子在判斷兇手時，必須透過測量來檢驗。案件五題目較難，線索是這個三角形的【一半】是直角三角形且有一個角小於45度。
由於數學的一半是很嚴謹的，所以這個部分有了孩子執著於直角三角形而忽略了一半。找到的兇手是等腰直角三角形，但兩底角要等於45度。
有學生提出質疑，我請孩子扮演偵探提出質疑澄清的地方，真的有孩子能夠注意到45度矛盾之處，也證明等腰直角三角形的清白。
然而真正的兇手是誰呢?還是有孩子注意到一半的意思而非關注直角三角形。
這個活動希望培養孩子對於三角形各項特徵的認識，並能刺激孩子推理思考。
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